中国科学院院士、数学家袁亚湘在《数学漫谈》中指出：数学之慧在于数学需要想象力。有人认为，想象力是天生的，后天难以改变。我不同意这一说法。人和人之间的天赋会有差异，但任何人的想象能力只要经过培养和启发，就一定可以得到提高。数学想象力关键在于“激发”和“培育”，要善于发现学生的数学想象潜能，为其发展创造条件、指示方向、提供实践机会等，使其数学想象潜能最大限度地得以发挥与施展。

要使学生的数学想象力有效提升，必须了解和遵从数学想象的机理。数学想象本质上是一种“自由知性主观下的再生”，还有比“知性主观”更高层次的，如“灵性”“智性”的“主观”。数学想象力要素有感觉、直觉、经验、知识、联想、选择、类比、猜想、合成，等等。数学想象力是一种统合、集成感知觉与其他神经机能，赋予事物新形式、新认知的能力。数学想象的基础是记忆表象、知识的回忆、联想，基本要求是“新奇与合理的统一”，往往遵循的是异常、超常、反常逻辑。作为一种高级智能，数学想象是数学知识运用、数学才能、数学美、数学智慧的综合显示，是一种连接感性和知性的高级认知过程，本质上是一种形象思维，数学知识的发现和创造很大程度上也是根源于这种形象思维。数学想象涉及表象的分解、组合、类比、联想，最后才是想象。在数学想象过程中，需要选出数学知识之间不同的要素，尝试进行不同组合，看看怎样会起作用，并根据已有知识来取舍。

如何强化数学想象力？既要增加数学知识储备，又要适时跳出思维定式，灵活组合数学知识。在数学想象的过程中，数学知识是想象力通往现实的桥梁和道路，在逻辑力的带领下，想象力才能有目的有方向地“照进现实”。很多人的想象力很丰富，想的很多，但没有足够的数学能力和才华，就会在驾驭想象力方面力不从心。而数学才华和能力，本质上就是逻辑思维和数学知识的灵活运用。

其实，数学想象力也是分等级的，它是由数学幻想抽象能力、数学幻想意象能力、数学幻想形象能力、数学幻想具象能力和数学想象的能力所组成。每一级别想象力的实现，都需要不同量级的新信息和知识作为桥梁和通路，同时，需要自由探索和操作实践。正如著名数学家怀特海所指出的，整个数学所涵括的正是组织起一系列协助我们在思考过程中补助想象的工具。不同数学想象力等级的人，其数学成就通常也不同。我们所能做的就是力求让数学想象的不同层级之间进行转变、提升和迭代跃级。这需要了解、探究和遵从数学想象的机理，精心设计并有效组织实施，积累丰富的实践经验。

培育数学想象力，关键在于学会数学家“做数学”的思维方式。实践中，养护数学想象力的数学教育，应渗透到学生的数学求知与认知建构中。想象是最自由的思考，可以超越时间、空间和逻辑。数学认知、思维与创造的边界，就是数学想象力到达的边界。正如法国作家雨果所说：“想象就是深度，这正是我们已经指出的，并且为思想家所共知的一个真理……科学到了最后阶段，便遇上了想象。”雨果说的“科学到了最后阶段，便遇上了想象”似可商榷。事实上，在最初阶段，当数学家面对感兴趣的事物时便会遇到想象。数学教育要养护数学想象原动力——数学家的诗性、自由精神，养护其源泉——本能、天赋、游戏……与世界灵性、智性对话的欲求。想象是心的游戏，是不管和事实距离多大，只以自己为对象的任意的游戏。数学想象力源于数学家本性中的游戏精神。数学家的诗性精神是数学想象力不竭的动力来源，要精心维护和保养。数学游戏是数学家们想象力创造世界的预演，是数学想象本能、智慧的崭露头角，也是数学创造与发现、发明的萌芽。

数学思维的奥秘就在于数学家独特的思考方式。数学家善于抽象，能够将现实世界中的问题转化为数学模型、猜想或假设，并通过逻辑推理来验证。在此，数学家的想象力使得他们能够不断超越数学的边界，发现新的思路、方法、问题和理论。正如菲尔茨奖获得者陶哲轩曾指出的那样：创造力是一个数学家最基本的素养。数学思维就是游戏思维，就是穷尽你的想象力去创造一个世界，然后用严谨的论证和逻辑推理去得到一个答案。这是一种高度抽象并解决问题的能力，这才是数学真正能赋予孩子更多可能性的东西。

实践中，数学知识的发展一般都要经历漫长的历史进程，其中不乏艰难与曲折，离不开数学家们执着奋斗与努力想象的过程。只是为了简明起见，编写教材时所有的数学知识（概念、原理）都以定论（定义、定理、公式等）形式出现，几乎全部略去了数学知识发生的过程与数学概念的形成探索过程，这对于培养学生的数学想象力显然是不利的。各个层次的数学课程中都缺失了这样重要的一环——对模糊和混乱的数学知识创造过程的忠实描述，而这个缺失是数学课让最积极的学生也难以养成数学想象力的主要原因之一。如果对数学概念创造过程中的“思想之舞”没有深刻认识，就无法充分领悟数学想象的魅力和美丽，也无法体会数学想象在数学创造过程中的作用。我们应努力挖掘和创造条件，尽量为想象力发展架桥开路，提供愉悦、顺畅的发展环境，让想象力的种子能自由地生根、发芽。

然而我们看到，当前数学教育界对养护想象力存在一定的认识误区，还普遍存在着“数学想象是数学家的专利，数学想象只有从事数学创造的数学家才需要，一般学生的数学学习并不需要数学想象”的认识。一些人要么认为“数学想象力是一种可训练的技能，与天赋无关”，要么认为“数学想象力由天赋决定无法培育”，还有人认为“培育数学想象力与数学知识的教育之间存在矛盾，数学知识的教育是反想象的，数学知识学多了就会失去数学想象力”。

事实上，任何一个孩子都具有想象力的潜能，他们有时天马行空、稀奇古怪的想法其实正是其可贵的想象力的火花。我们要精心呵护孩子头脑中产生的想象力火花，要将培育数学想象力作为数学智育的重要追求，扎扎实实、持之以恒地落实在数学教育实践中。

至于“培育数学想象力与数学知识的教育之间存在矛盾”，也许不无道理。数学知识的教育追求精确、统一、规范，数学想象力则重猜测、求异、反规范。数学知识的教育，尤其授受式、封闭式的教育，确实会对数学想象力发展造成一定的抑制，但只要处理好二者关系，采用开放式而非封闭式、存在式而非占有式的教学方法，使数学知识的教育与唤醒开发数学想象力相伴而行，其矛盾并非不可调和。正如苏联教育家苏霍姆林斯基所说：“教师把准备好的种种原理、结论和推理一股脑儿塞进儿童的脑子，往往不让儿童有可能哪怕接触一下思维和活的言语的源泉，这就捆住了他们的幻想、想象力和创造力的翅膀。”保持数学理性与感性生活的交融，让孩子不断地得到思维激活，数学想象力才不会枯竭；以充满想象力的方式传知、求知，这样的数学知识教育才能反哺数学想象力的养成。

（作者：徐彦辉，系温州大学数学文化与数学教育研究所所长、数理学院副教授）