一．计算题：

1.分解因式：

X3+5x2+3x-9

原式=（x+3）（x2+2x-3）=（x+3）[（x+1）2-4]= （x+3）(x

+3)(x-1)

2. 8-x

解：两边同时平方,得：

（x+2）（x-5） （8-x）2

x2-3x-10 64-16x+x2

化简，得;13x 54

x

3.若a，b，c都是正数，且a+b+c=1，求证：（1-a）（1-b）（1-c） 8abc

证明：将a+b+c=1代入原式左边=（a+b）（b+c）（c+a）

由a+b 2 1

b+c 2 2

c+a 2 3

由123式相乘，得：（a+b）（b+c）（c+a） abc，所以，等式成立。

4.已知等差数列前n项的和Sn=n(n+5),求这个数列的第96项至第100项的和

解：第95项之和为：S95=95（95+5）=9500，

第100项之和为：S100=100（100+5）=10500

第96项至第100项的和= S100-S95=10500-9500=1000

5.x+2y=a（a ）且x和y都是正数，求：logax+logay的极大值

解：原式=logaxy，将x=a-2y代入：

loga（ay-2y2）= loga[-2（y-a/4)2+a2/8]

当y=a/4时，极大值为2- loga8

二．1.m为怎样的值时，方程2x2+（m-2）x+m-5=0的一个根大于2，且另一个根小于2。

解：1.首先计算f（2）的值：

将x=2代入函数：f（x）=2x2+（m-2）x+m-5种可得：

f（2）=2×22+（m-2）×2+m-5=8+2m-4+m-5=3m-1

根据f（2） ，求解m的取值范围：由f（2）=3m-1 ，移项可得：3m m

2.解方程组：

+ =4 1

2x+2y+1/y=9 2

解：设 =u， =v，得到方程：

u+v=4 3

u2+v2=8 4

将3代入4，得到：u2+（u-4）2=9

2u2-8u+8=0,(u-2)2=0,u=2,v=2

=2

=2

解得：x=3，y=1

1. 若方程x2-2px+3q=0的一根是另一根的3倍，并且方程x2+qx+3p=0的一根是另一根的二分之一，求适合条件的异于零的实数p，q的值。

解：设x2-2px+3q=0的两个根为： ，3 ，根据韦达定理：

+3 =2p， =p/2

×3 =3q =

（p/2）2=q

设x2+qx+3p=0的两个根为 ， /2

+ /2=-q， -2 q /3

× /2=3p， =

（-2q/3）2=6p

4 q2/9=6p，q2=27 p /2

解方程：

（p/2）2=q 1

q2=27 p /2 2

将1代入2，得：（p/2）4=27p/2

p 3-27×8=0，解得p=6，q=9

三．1.有一个等比数列，公比为2 共有10项，它的各项取以2为底的对数，其和为25，求这个等比数列的和。

解：根据题意，等比数列为log2a110245=25，a1=1/4

Sn=a1（q9-1）/q-1=1/4（29-1）/2-1=1023/4

2.已知log4.053=0.6078，log32.1=1.5065

求：3.21-1.2的值

解：-1.2log3.21=-1.2×0.5065=-0.6078

=-log4.053

log3.21-1.2=-log4.053

3.21-1.2=1/4.053=0.2467

3.一个等差数列和一个等比数列，它们的首项是相等的正数，并且它们的第2n+1项也相等，问它们的第n+1项哪个大？

解：1.等差数列的通项公式：

am=a1+（m-1）d

a2n+1=a1+2nd

an=a1+nd

等比数列的通项公式：

bm=b1qm-1，b2n+1=b1q2n

bn+1=b1qn

因为a1=b1，a2n+1=b2n+1，所以，a1+2nd=a1q2n，2nd=a1（q2n-1）

an+1-bn+1=a1+nd-a1qn，由2nd= a1（q2n-1）可得：nd= a1（q2n-1）/2

将其代入上式：an+1-bn+1=a1+nd-a1qn =a1+ a1（q2n-1）/2-a1qn

2a1+ a1q2n- a1-2 a1qn/2= a1（q2n- 2qn+1）/2=a1(qn-1)2/2

因为a1 0，(qn-1) 2 0，且q 所以，a1(qn-1)2/2

0，即an+1-bn+1 0，所以，an+1 bn+1，等q=1时，an+1=bn+1

四．在边长为a的正三角形ABC的各边BC,CA,AB上分别取P,Q,R三点，使得BP:CQ:AR=1:2:3,试用BP的长x表示三角形PQR的面积S,并求S的极小值。

解：1.计算相关线段长度：

已知BP=x,因为BP:CQ:AR=1:2:3,

所以CQ=2x,AR=3x,则PC=a-x。

在△BPQ中，∠B=60°，根据余弦定理

PQ2=BP2+BQ2-2BP.BQ cos B=x2+(a-2x)2-2x（a-2x）cos60°

PQ2=x2+a2-4ax+42-2ax(a-2x）×1/2

=x2+a2-4ax+4x2-ax+2x2

=a2-5ax+7x2

在△APR中，∠A=60°，AP=a-x,

AR=3x,根据余弦定理：

PR2=AP2+AR2-2AP.AR cos A=(a-x)2+（3x）2-2（a-x）3xcos60°

PR2=a2-2ax +x2+9x2-3x(a-x)

=a2-2ax+x2+9x2-3ax+3x2

=a2-5ax+13x2

又因为：

QR2= CQ2+CR2-2CQ.CRcosC=(2x)2+(a-3x)2-2×2x（a-3x）cos60°

QR2=4x2+a2-6ax+9x2-2x(a-3x)

=4x2+a2-6ax+9x2-2ax+6x2

=a2-8ax+19x2

2.计算△PQR的面积S：

S=S△ABC-S△BPQ一 S△CQR-S△APR

S△ABC= a2/4

S△BPQ=1/2BP.BQsinB=1/2x（a-2x）sin60°= x（a-2x）/4

S△CQR =1/2CQ CRsinC= 1/2×2x(a-3x)sin60°= x(a-3x)/2

S△APR= 1/2AR.APsinA=1/2×3x（a-x）sin 60°=3 x（a-x）/4

S= a2/4- x（a-2x）/4- x(a-3x)/2-3 x（a-x）/4

解得：S= (a2-12ax+11x2)/4，将其看作关于x的二次函数，A=11 /4,B=-3 a，C= a2/4

因为，A=11 /4 0，根据二次函数对称轴公式：x=-B/2A,对称轴为：x=6a/11

把x=6a/11代入S= (a2-12ax+11x2)/4,

Smin= a2/72

五．已知:二次函数y=（m-2）x2-4mx+2m-6

（1）m为怎样的值时，它的图像与x轴的两个交点中至少有一个在x轴的负方向上

（2）若它的图像与x轴交点的横坐标为x1，x2设S=x1+x2，P=x1x2

求证：S与P的关系与m无关。

解：（1）对于函数y=（m-2）x2-4mx+2m-6，

a=m-2，b=-4m，c=2m-6

由判别式： =b2-4ac=（-4m）2-4×（m-2）×（2m-6） 0

=16m2-8m2+40m-48 0，m2-5m+6 0，（m+6）（m-1） 0

解得：m -6，或m 且m 2

根据根的分布确定m的范围:

设方程（m-2）x2-4mx+2m-6=0的两个根非x1，x2，由韦达定理可知：x1x2=2m-6/m-2，因为图像与x轴的两个交点中至少有一个在x轴的负方向，所以有两种情况：

1． 两根一正一负，此时x1x2 0，即（2m-6）/m-2 0，等价于：（2m-6）（m-2） 解得：2

2．两根都为负根，此时： x1+x2=4m/m-2

x1x2=2m-6/m-2 0

解得：4m/m-2 得：0 m

解得：2m-6/m-2 0 得：m 同时要满足 和m 2，综合起来交集m /6，并集可得： 且m 2

(2)由条件知道：P=2m-6/m-2,则m=6-2P/2-P（P 2）代入：

S=4m/m-2=S=4×（6-2P/2-P）/6-2P/2-P-2=12-4P

所以，S与P的关系与m无关。