一． 填空:

1. 内角和为1080°的凸多边形是八边形。

菱形ABCD中一个锐角A=60°,变长AB=a，则对角线AC= BD=aS菱形= a2

2. 相似多边形，周长的比等于它们的相似比对应边的比。面积的比等于它们的相似比的平方。

3. 半径是10cm，中心角是2（弧度）所对的弧长是？，半径是2cm的圆上一条弧长为2/3 ，这条弧所对应的角度是 /3

4. 三个圆两两相外切，它们的圆心距是7cm，8cm，11cm则001，的半径是2cm，003的半径是6cm。

二．直角三角形ABC，∠C=90°斜边AB上的高CD=H，直角边分别为a，b求证：1/a2+1/b2=1/h2

证明：因为∠A=90°-∠B,∠BCD=90°-∠B,所以，∠A=∠BCD= ,所以，ΔACD ΔBCD(三角形相似对应的角相等)

CD=h=sinα×b=cosα×a，又sin2a+cos2a=1

所以，h2/b2+h2/a2=1所以，1/a2+1/b2=1/h2

三．已知△ABC中∠C=2∠B，AD⊥BC,求证：BD-DC=AC

证明：作AE使AE=AC,因为AD⊥BC,∠C=2∠B,所以，AE=BE=AC,CD=DE

所以BD=DE+BE=CD+CA,所以，BD-CD=AC

四．自等腰△ABC的底边BC上任一点P，作BC的垂线交AB于Q，交CA的延长线于R，若PQ+PR=BC，求证：顶点A为直角

证明：设等腰三角形ΔABC中，AB=AC,过BC中点（设为D）作AD⊥BC（因为等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线重合）。

过P作PR⊥BC（题目里是作BC的垂线，这里统一为PR⊥BC，交AB于Q，交CA延长线于R）。

因为AD⊥BC，PR⊥BC，所以AD∥RQ。

由平行线分线段成比例，可得：

PQ/AD=BP/BD,PR/AD=CP/CD

因为BD=CD（D是BC中点），设BD=CD=x，则BC=2x。

将两个比例式相加：

PQ+ PR /AD= BP+CP/BD=BC/x=2

已知PQ + PR = BC = 2x，代入得:

2x/AD=2,所以，AD=x

而BC=2x，AD是BC边上的高，且AD=BD=CD=x，所以 ΔABD 和 ΔACD都是等腰直角三角形，∠BAD=∠CAD=45°因此 ∠BAC=90°，即顶角A为直角。

证明2：因为PQ+RQ=BC，又AD∥RQ, 所以ΔBQP ΔABD,所以PQ/AD=BP/BD,又ΔRPC ΔADC,PR/AD=CP/CD设CD=BD=x，BC=2x，PQ+PR/AD=BP+CP/=2BD/BD=2又PQ+PR=BC=2x，所以，2x/AD=2所以AD=x，而BC=2x，AD 时BC 上的高，AD=BD=CD,所以，ΔABD ΔACD是直角三角形， ∠CAD,所以∠A为直角

五．直角梯形的两底为a，b，较短的腰为c，求它的对角线交点E，到两底和垂线于底的腰的距离。

解：设直角梯形为 ABCD，其中：

AB ∥CD, AB = a（上底），CD = b（下底），且 a < b （因未指定，但通常“较短的腰”暗示梯形是下底较长的直角梯形）；

∠ A =∠ D = 90°，即 AD ⊥ AB ，且AD⊥CD，因此 AD 是垂直于底的腰，长度为 c;

另一条腰 BC 为斜腰（非垂直）；

对角线 AC 和 BD 相交于点 E。

为便于计算，建立平面直角坐标系：

设点 D(0,0),点 C(b,0)（下底在 x 轴上），

点 A(0, c)（垂直腰 AD = c），

点 B(a, c) （因上底 AB = a，且与 CD 平行，纵坐标为 c）。

2.求两条对角线的方程

(1) 对角线 AC: 连接 A(0, c)与 C(b, 0)

斜率： kAC=0-c/b-0=-c/b

方程： y - c = - c/b (x - 0) ， y = -c/bx + c

(2) 对角线 BD：连接 B(a, c)与 D(0, 0)

斜率： kBD=c-0/a-0=c/a

方程： y=c/ax

3求交点 E 的坐标：

令两直线方程相等：

c/ax = -c/bx + c

两边除以 c(c 0)

x /a=-x/b+1

移项：

x/a+x/b=1x（1/a+1/b）=1x=ab/a+b

代入 y = c/a x 得:

y= c/a×ab/a+b=bc/a+b

所以，交点 E 的坐标为：

E（ab/a+b, bc/a+b）

4.求点E 到三边的距离：

(1) 到上底 AB 的距离

上底 AB 在直线 y = c 上（水平线）。

点 E 的纵坐标是bc/a+b，所以上底距离为：d1=c-bc/a+b=ac/a+b

(2) 到底 CD 的距离：

下底 CD 在直线 y = 0 上（x 轴）。

点 E 的纵坐标是bc/a+b，所以下底距离为：

d2=bc/a+b-0= bc/a+b

(3) 到垂直腰 AD 的距离

垂直腰 AD 在直线 x = 0 上（y 轴）。

点 E 的横坐标是ab/a+b， 所以到 AD 的距离：

点 E 的横坐标是ab/a+b，所以到 AD 的距离为：

ab/a+b

六．已知：圆0和圆0外一点P，求作过P点圆的切线（用圆规直尺作图，并写出作图步骤）

做法：（1）连结OP经过P点；（2）以O、P谓圆心任意长为半径画弧，作OP的垂直平分线；（3）以OP/2的点为圆心，OP/2为半径，画弧OP圆和圆O交于RQ;(4)连结PR、QR即为所求。证明PQ、RP为圆O的切线（略）

七．等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的圆交底边BC于D，交另一腰于E，若BC=4，AD=6，求：四边形ABDE的面积。

解：根据题意，S△ABC=1/2 4×6=12,

根据题意，链接DE,因为AD⊥BC,BE⊥AD,所以DE∥AB,所以

△ABC △BED, S△ABC/ S△BED=BC2/CD2=4/1，

S△BED=1/4 S△ABC=1/4×12=3

S四边形ABDE= S△ABC- S△BED=12-3=9

八．∠A是等腰三角形ABC的顶角，D是它外界圆AC弧上任意一点，求证：AB+AC BD+CD

证明：延长BD于E.使DE=CD,连接AE,AD因为AD=AD,DE=CD,∠ADE=∠ADC,所以，△ACD △ADE,所以，AE=AC=AB,

在△AEB中，AE+AB BE=BD+CD,所以，AE+AB=AB+AC>BE=BD+CD

所以，AB+AC>BD+CD

九．以AB为直径作半圆，又在圆内作一圆与半圆弧以及直径相切，过此圆的圆心C作AB的垂线CD，延长DC交半圆弧于E,求证：DE是圆C的半径与AB的比例中项。

证明：连接OC,OE,AE,BE,在△AED和△BED中，∠AED=∠EBD,∠EAD=∠DEB,所以，△AED △BED，所以，BD/DE=DE/AD,

DE2=AD×BD,设AO=OB=R,CD=r，AD= R+OD,BD=R-OD,根据勾股定理，DO2=（R-r）2-r2=R2-2Rr，DE2=R2-OD2=2Rr=AB×r，所以，DE是圆C的半径与AB的比例中项。