“圆的周长”一课，教师常常会提供多种操作材料让学生研究“周长和直径”之间的关系。但测量之前，往往面临这样的尴尬：教师刚聚焦“周长与直径”之间的关系，就会有聪明的学生举手发言：“周长除以直径就是π，等于3.14。”在无锡举办的“大家课堂”活动中，甚至有小女孩直接举手发言：“π等于3.1415926535。”这个小女孩知道圆周率，还知道大家熟知的“3.1415926”后面的几位数，而这其实是大家可以预想到的学情。

那么，在学生已经知道“圆周率”的前提下，还要安排测量圆周率的活动吗？如果要让学生测量圆周率，其教学价值可以怎么挖掘呢？

一是需要正视“学情”。学生在课外有多种渠道提前知道“圆周率”及其数值。比如，学校中祖冲之的画像、课外读物等等。学生既然知道，就不用藏着掖着。所以，正视学情的教学自然可以是教师直接问学生“是否知道圆周率”并让学生说一说。这个互动环节，教师还要让学生明确圆周率到底研究的是什么与什么的关系，让学生聚焦到“周长与直径”的关系上来。

二是需要明晰“学理”。π是无限不循环的超越数，是“不可公度”的，即不可能通过“周长÷直径”得到。同时，以测量周长和直径的方式求圆周率，其实与通过“绕绳法”得到圆环的周长、通过“排水法”求不规则物体的体积一样，都是“物理方法”而不是“数学方法”，而“割圆术”才是数学方法。基于这一点，测量圆周率的价值定位可以调整为：在测量中感受“物理方法”的局限性（误差），在优化测量方法的过程中体验“割圆术”的优越性，并进一步在“割圆术”的体验中理解祖冲之的伟大。由此，教学进入下一阶段。

三是减少误差。在学生明确圆周率是什么的情况下，教师提供操作材料：看看你能测多准，即已经知道结果的前提下，学生去验证自己能测多准。测量的结果必然会产生误差。就像在“大家课堂”活动中学生测的值普遍偏大，教师呈现的6个数据，最小值3.20，最大值3.33，没有一个数据能精确到3.1，更不用说精确到3.14。另外，有的学生会根据已经知道的结果“倒果为因”地调整测量数据，这是教师要注意的。测量得到的数据，教师应选择最大值、最小值（测量结果的区间）让学生展示分别是怎么测出来的，并让学生讨论怎样测可以减少误差。到这一步，都是在“物理方法”的层面测量圆周率。

四是引入“割圆术”。在明确“物理方法”必然有误差的前提下，教师介绍“割圆术”，并让学生思考：刘徽、祖冲之为什么要用这种方法？为什么“割圆术”可以更精确？这一环节涉及对“物理方法”和“数学方法”差异性的理解，对学生的要求颇高。但学生会怎么反馈，我也颇为期待。

五是体验“割圆术”。比如教师提供学习单，放置几个内部切割成不同边数的图形，给出精确的数据让学生计算。这样设计，学生可以在“形”上观察到：切割的边数越多，内接的正多边形看起来就越来越像圆；可以在“数”上观察到：切割成正六边形，可以算出π等于3，切割边数增加之后，基于精确的数据，能够算到3.1了，能够算到3.14了……而这些数值，是此前的测量方法无法达到的。两相对比，学生才会对“割圆术”的优越性有深刻的体验。进一步，教师可以指出，割到正三十二边形已经很像圆了，继续往下割这件事本身就不是依靠眼睛解决的，也是需要经过缜密的计算。

顺着上面这个教学设计的逻辑，测量圆周率就有了“内驱力”。哪怕只切割到第四步，我们就可以发现这个操作的价值在于：不是通过测量去发现π的值，而是去发现测量法必然有误差，发现数学法比测量法更优越，进而发现刘徽、祖冲之为什么选择了“割圆术”，并体会他们身上的科学精神、探索精神和理性精神。

在数学学习中，动手操作的目的是思维发生，为了“核心素养”的发展，为了立德树人的推进。而教师测量圆周率这一传统、经典的教学设计，自然也应该以此为旨归，并在实践中努力落到实处。

（作者单位系《小学数学教师》编辑部）

《中国教师报》2025年07月16日第12版

作者：陈洪杰